曾经给中学生讲过一些概率问题，不过没有系统讲，今天再次给学生讲了一次概率论，讲授稍微抽象了一些，增加了分类的思想，也是帮助自己学习一下概率论。主要介绍了随机试验、样本空间以及随机事件这三个基本概念，读起来可能需要耗费一点脑筋。
什么叫随机试验？符合下面三个特点的试验就叫做随机试验：
“(1)一次试验结果的随机性——进行一次试验之前无法确定哪一个结果会出现。
(2)全体测试结果的可知性——每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。
(3) 可重复性——可以在同一条件下重复进行试验。”
“随机实验的一切可能基本结果组成的集合称为该试验的样本空间，样本空间的元素，即试验每一个可能的结果，称为样本点。”
样本空间的子集称为随机事件，样本点构成的单点集称为基本事件，但有时也把样本点本身称为基本事件。
基本概念清楚了，现在开始一点稍微“与众不同”的阐述。相对于同一个随机试验而言，样本空间是不是唯一的？我们还是从一个古典概型开始，一个骰子的六面分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，随机抛掷这个骰子，这是一个随机试验，那么样本空间是什么？估计大多数人都会说，样本空间自然是{1，2，3，4，5，6}，这当然是这个试验的样本空间，但这个样本空间指的是骰子出现不同数字的所有可能结果。如果我问，在这个随机试验中，出现奇数的概率是多少？你一定会认为{1，3，5}是一个随机事件，其概率可以根据1，3，5出现的概率来计算，三个点的概率相加，自然是1/2，解答肯定没错。我们再换一种方法，将1，3，5所在的面用白色的纸粘住，2，4，6用黑色的纸粘住，这样骰子的六个面只有黑白两色，随机抛掷这个骰子，可能出现的结果有哪些？换句话说，这个随机试验的样本空间是什么？你该不会说是{白，白，白，黑，黑，黑}吧？集合里面的元素是不能重复的，也就是说，这个随机试验的样本空间是{白，黑}，明白我想说什么了吗？
在一个随机试验中，可能出现具有多种属性的结果，如果你关心的某种属性没有共性，那么所有可能的结果都是样本点，如果你关心的某种属性具有共性，也可以将具有共同属性的结果放在一起作为新的样本点。上面的随机试验说的就是这回事，当你关心的是骰子的每一面出现的具体的数字，而这些数字又是互不相同的，那么样本空间就是可能出现的每一个数字，例如上面的{1，2，3，4，5，6}。如果关心的是这些数字的某种共同属性，例如奇偶性，那么可以将这种共同的属性作为可能的结果，即样本点，具体地说，如果上面掷骰子试验关心的是数字的奇偶性，那么样本空间是{{1，3，5}，{2，4，6}}或者{奇数，偶数}。这里蕴含着分类的思想，将同为奇数的数字放在一起看成一点，同为偶数的数字放在一起也看成一点。
对于古典概型来说，无论采用哪种方法都不会带来歧义。歧义与悖论是不同的概念，所谓歧义是指在理解上会产生几种可能的结果，即可以这样理解也可以那样理解。歧义源于语言文字的意义不明确，有两种或几种可能的解释。悖论则属于逻辑学范畴，由A可以推出非A，非A可以推出A。所以歧义带来的不同结果与逻辑带来的悖论是不同范畴的东西，不可混为一谈。概率论中的一些问题由于随机设定的不明确容易导致歧义的产生，所以，避免歧义产生的方法有两种，一种方法是事先明确随机设定，另一种方法是遵守公认的规则，例如古典概型与几何概型遵循无差别原则，如果违背了这个原则，就不是古典概型或几何概型了。但即使这样仍然有可能产生歧义，即对目标的理解有差异。
目标是指你要解决什么问题，这个问题有时会让人一头雾水，例如：“随机作圆的弦，弦长大于该圆内接正三角形边长的概率是多少？”这个问题的目标是什么？样本空间是什么？语言是否有歧义？有一种观点认为样本空间是圆的弦，而弦由弦的中点唯一确定，所以样本空间可以看成该圆内的任意点。另一种观点认为，过圆上一点随机引圆的弦，弦的位置由该弦与过其顶点处圆的切线之夹角唯一确定，所以样本空间应该是角度。还有一种观点认为，由于目标是计算弦长大于正三角形边长的概率，如果以x表示弦的长度，这个问题中的随机事件是{x|x>正三角形的边长}，显而易见，弦长是样本点。我赞同最后一个观点，因为该问题的目标很明确，它关心的是弦的长度，而不是具体的弦，正如前面掷骰子关心的是奇数还是偶数一样。然而弦长一定的弦有很多，与正三角形外接圆同心的小圆上所有的切弦都是等长的，反之亦然。因此，我们需要做一个等价类，将同一个圆上的所有切弦看成一点，或者说把所有等长的弦放在一起看成一点，从而只需要考察与大圆的固定直径垂直的弦就可以了。问题出现歧义正在于考察了弦的不同属性，第一种情形考察的是具体的弦，即弦的位置（个性），第二种情形考察的是弦与大圆切线的夹角（既有共性也有个性，因为圆周上每个点处都可以随机引圆的弦），第三种情形考察的是弦的长度（共性）。说白了，三种情形对应三个不同的问题，虽然最终貌似都与弦长有关，但真正只与“弦长”这个共性特征有关的情形是第三种情形，其它两种情形都与弦的位置这个“个性”特征有关。从这个问题的目标看，随机事件是{弦长大于正三角形的边长}，这里并未涉及弦长之外的其它与弦有关的特征，为什么要人为添加上去呢？
如何确定样本空间是理解概率问题的关键，我们常常着眼于问题开始时的描述（随机试验），试图根据这个描述确定样本空间，却忽略了问题的目标，因为针对同一个随机试验，关注的目标不同，对应的概率问题也就不同。从这个角度说，只要一个随机试验包含多种属性，就有必要根据问题的目标来确定样本空间，因为目标才是确定随机事件的依据。以前面所说问题的第一种解答为例，如果我们把问题改成：“随机作圆的弦，弦的中点位于该圆内接正三角形的内切圆内的概率是多少？”这个问题的答案无疑是唯一的，即1/4